Παρουσίαση της απόδειξης της εικασίας Helffer-Nourrigat στο College de France και στο σεμινάριο Bourbaki

Μια εξαιρετικά σημαντική ερευνητική επιτυχία του Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ θα βρεθεί στο επίκεντρο της διεθνούς προσοχής τον ερχόμενο Μάρτιο. Πρόκειται για την από κοινού εργασία [1] του Καθηγητή Ιάκωβου Ανδρουλιδάκη με τους Omar Mohsen (Maitre de Conferences, Paris Saclay) και Robert Yuncken (Professeur, Universite de Lorraine), στην οποία δόθηκε η απόδειξη της εικασίας Helffer-Nourrigat, η οποία διατυπώθηκε το 1979.

Όπως έχει ανακοινωθεί, το αποτέλεσμα και ορισμένες εφαρμογές του θα παρουσιαστούν από τον O. Mohsen σε σειρά εβδομαδιαίων διαλέξεων στo College de France, από τις 13 Μαρτίου έως τις 3 Απριλίου:

https://www.college-de-france.fr/en/person/omar-mohsen

Οι διαλέξεις αυτές αποτελούν μέρος του μαθήματος “Cours Peccot” που προσφέρεται το εαρινό εξάμηνο στο College de France, με διδάσκοντες Μαθηματικούς κάτω των 30 ετών, η ερευνητική δραστηριότητα των οποίων διακρίνεται ως πολλά υποσχόμενη. Σε αυτές καλούνται να παρουσιάσουν τα πρόσφατα ερευνητικά τους αποτελέσματα. Η συγκεκριμένη διάκριση συχνά προοιωνίζει εξαίρετη μελλοντική επιστημονική εξέλιξη. Πράγματι, στο παρελθόν πολλοί από τους διακριθέντες, είτε έγιναν σε μετέπειτα στάδιο της καριέρας τους  αποδέκτες των βραβείων Fields και Abel, είτε ανακηρύχθηκαν μέλη της Γαλλικής Ακαδημίας ή Καθηγητές στο College de France.

Επιπλέον, στις 29 Μαρτίου, θα δοθεί διάλεξη στο σεμινάριο Bourbaki από την Καθηγήτρια Claire Debord του Τμήματος Μαθηματικών Paris Cite για το [1]:

https://www.bourbaki.fr/programme2024-25.html

Πρόκειται για την παλαιότερη σειρά δημόσιων διαλέξεων στα Μαθηματικά, μια και διεξάγεται από το 1948 στο Ινστιτούτο Henri Poincare (Παρίσι). Σημειώσεις δημοσιεύονται στο περιοδικό Asterisque. Το σεμινάριο Bourbaki είναι ένας από τους σημαντικότερους διεθνείς θεσμούς στα σύγχρονα Μαθηματικά και θεωρείται βαρόμετρο μαθηματικών επιτευγμάτων, τάσεων και φήμης. Το όνομά του προέρχεται από ομάδα Γάλλων στην πλειονότητα Μαθηματικών, των αρχών του 20ου αιώνα, αποφοίτων της Ecole Normale Superieur του Παρισιού. Η ομάδα Bourbaki θεμελίωσε και διαμόρφωσε τα σύγχρονα Μαθηματικά.

Οι προηγούμενες εκδηλώσεις στη Γαλλία είναι το επιστέγασμα του διεθνούς ενδιαφέροντος για την απόδειξη της εικασίας Helffer-Nourrigat που έχει εκδηλωθεί από το 2022, και έχει εκφραστεί με πλειάδα προσκλήσεων προς τους συγγραφείς σε διεθνή συνέδρια σε όλο σχεδόν τον κόσμο. Αν και το μεγαλύτερο μέρος του ενδιαφέροντος έχει εκδηλωθεί από την Μαθηματική κοινότητα, το αποτέλεσμα έχει παρουσιαστεί και σε ερευνητικές κοινότητες στη Μαθηματική Φυσική, αλλά και στη Μηχανική Μάθηση, όπου το ακροατήριο περιελάμβανε ερευνητές από τις Google, Thales, κατασκευαστές συστημάτων ραντάρ κ.α. Επιπλέον, έχουν εμφανιστεί πολλές ετεροαναφορές στο αποτέλεσμα, τόσο σε εργασίες όσο και σε βιβλία, ενδεικτικά αναφέρουμε τα [15], [22]. Εύλογα αναρωτιέται κανείς για τον λόγο αυτού του διεθνούς ενδιαφέροντος.

Η πλειονότητα των φαινομένων στη φύση, όπως και αρκετά φαινόμενα στην οικονομία και την πληροφορική, περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους (ΜΔΕ). Η επίλυσή τους, όταν είναι δυνατή, δίνει τη δυνατότητα προβλέψεων για την εξέλιξη του φαινομένου. Όμως το πρόβλημα με τις ΜΔΕ εντοπίζεται σε θεμελιώδες επίπεδο, πολύ πριν κανείς αναζητήσει τεχνικές εύρεσης λύσεων: Υπάρχει λύση; Και αν ναι, τι είδους λύση μπορεί να περιμένεις κανείς; Υπάρχει λύση εύκολα διαχειρίσιμη για την εξαγωγή προβλέψεων; Για τον λόγο αυτό αναζητούνται συνθήκες που εξασφαλίζουν ότι οι λύσεις μιας δεδομένης ΜΔΕ διαθέτουν διαφορισιμότητα σε κάθε τάξη. Ο μαθηματικός όρος για την ιδιότητα αυτή είναι “υποελλειπτικότητα”. Επιπλέον, εύλογη απαίτηση είναι οι συνθήκες αυτές να είναι υπολογίσιμες. Αυτού του είδους οι απαιτήσεις παρουσιάζουν μεγάλη δυσκολία, ακόμα και σε απλές περιπτώσεις ΜΔΕ, όπως οι γραμμικές. Η δυσκολία αυτή αυξάνεται δραματικά όταν παρουσιάζονται ιδιομορφίες, συνήθως με τη μορφή μηδενισμών κάποιων παραμέτρων. Οι περιπτώσεις με τέτοιου είδους ιδιομορφίες παρουσιάζονται με τη μεγαλύτερη συχνότητα, και μάλιστα είναι οι σημαντικότερες από την άποψη των εφαρμογών.

Είναι γνωστό από τον 19ο αιώνα ότι οι συμμετρίες παίζουν κεντρικό ρόλο στην κατανόηση και επίλυση ΜΔΕ. Αυτό επιβεβαιώθηκε επανειλημμένα τον 19ο αιώνα σε μελέτες διάσημων Μαθηματικών, όπως οι Poisson, Jacobi, Lagrange, Frobenius, Sophus Lie – μάλιστα με έναυσμα προβλήματα Φυσικής (κλασική μηχανική). Στις αρχές του 20ου αιώνα, η Emmy Noether διατυπώνει το εντυπωσιακό αποτέλεσμα, ότι οι αρχές διατήρησης στη Φυσική προκύπτουν από τις συμμετρίες. Αργότερα, ο Καραθεοδωρή χρησιμοποίησε συμμετρίες για την κατανόηση της θερμοδυναμικής. Επιστέγασμα αποτελεί η διατύπωση του δεύτερου νόμου της θερμοδυναμικής. Αξίζει να σημειωθεί ότι η θερμοδυναμική παρουσιάζει ισχυρή συγγένεια με την Στοχαστική Ανάλυση.

Μεγάλη ώθηση στην μελέτη των γραμμικών ΜΔΕ έφερε την δεκαετία του 1960 ο Lars Hoermander [12] [13], ο οποίος ανέδειξε τον θεμελιώδη ρόλο του πρωτεύοντος συμβόλου. Το 1979, οι Helffer και  Nourrigat [9] [10] διατύπωσαν το σύμβολο χρησιμοποιώντας τις συμμετρίες και διατύπωσαν την εικασία ότι η υποελλειπτικότητα εξασφαλίζεται από την συμπεριφορά του συμβόλου σε έναν μικρό και υπολογίσιμο αριθμό αναπαραστάσεων της ομάδας των συμμετριών. Εκτός από τη δουλειά του Hoermander, προάγγελοι της εικασίας αυτής είναι οι εργασίες των Stein και Folland [8] [20] [21]. Οι Helffer και  Nourrigat απέδειξαν την εικασία σε ορισμένες περιπτώσεις. Τις δεκαετίες του 1980 και 1990 εμφανίστηκαν περαιτέρω αποτελέσματα ([4] [5]) και το 2019 οι van Erp και Yuncken [7] έδωσαν ένα πολύ πιο γενικό αποτέλεσμα, χρησιμοποιώντας ιδέες των Debord-Σκανδάλη [6]. Ωστόσο, για να αποδειχθεί η εικασία έμενε να αντιμετωπιστούν οι περιπτώσεις με ιδιομορφίες. Για σειρά ετών, η δυσκολία αυτή έκανε την απόδειξη της εικασίας να φαίνεται απόμακρη.

Η αντιμετώπιση των ιδιομορφιών είναι το πρωταρχικό επίτευγμα στο [1], που οδήγησε στην πλήρη απόδειξη της εικασίας Helffer-Nourrigat. Η κρίσιμη επινόηση των Ανδρουλιδάκη-Mohsen-Yuncken είναι η χρήση ειδικού συνδυασμού μεθόδων Μη-Μεταθετικής Γεωμετρίας με την θεωρία που αναπτύχθηκε την δεκαετία του 2010 από τους Ανδρουλιδάκη και Σκανδάλη [2] [3] για τις φυλλώδεις δομές με ιδιομορφίες. Ειδικότερα, η άλγεβρα τελεστών (C*-άλγεβρα) μιας τέτοιας δομής, που κατασκευάστηκε από τους Ανδρουλιδάκη-Σκανδάλη, ήταν το απαραίτητο συστατικό για την απόδειξη της εικασίας. Για όλους αυτούς τους λόγους, η εργασία των Ανδρουλιδάκη-Mohsen-Yuncken φαίνεται να ανοίγει μια καινούργια προσέγγιση στην θεωρία των ΜΔΕ γενικότερα.

Συστατικά στοιχεία της εργασίας [1] είναι η Ανάλυση Fourier (ψευδοδιαφορικός λογισμός), η Θεωρία Απειροδιάστατων Αναπαραστάσεων (μέθοδος τροχιών του Kirillov), η Γεωμετρία (φυλλώδεις δομές με ιδιομορφίες), η Άλγεβρα (θεωρία ομάδων), καθώς και η Συναρτησιακή Ανάλυση (Άλγεβρες Τελεστών). Όλα αυτά τα γνωστικά αντικείμενα εντάσσονται στο πρόγραμμα σπουδών του Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ και αναπτύσσονται ερευνητικά με συστηματικό τρόπο.

Το Τμήμα Μαθηματικών είναι ένα από τα αρχαιότερα Τμήματα του ΕΚΠΑ. Αξίζει να σημειωθεί ότι η πρόσφατη απόδειξη της εικασίας Helffer-Nourrigat προστίθεται σε μια πλειάδα διεθνώς αναγνωρισμένων ερευνητικών αποτελεσμάτων, τα οποία έχει δώσει το Τμήμα στην διεθνή κοινότητα κατά καιρούς. Επιβεβαιώνει και ενισχύει τον ισχυρό ερευνητικό προσανατολισμό του Τμήματος, καθώς και τη διεθνή του αναγνωρισιμότητα.

[1] Iakovos Androulidakis, Omar Mohsen, Robert Yuncken. “A pseudodifferential calculus for maximally hypoelliptic operators and the Helffer-Nourrigat conjecture”. Preprint https://arxiv.org/abs/2201.12060

[2] I. Androulidakis and G. Skandalis. “The holonomy groupoid of a singular foliation”. In: J. Reine Angew. Math. 626 (2009), pp. 1–37. issn: 0075-4102. doi: 10.1515/CRELLE.2009.001.

[3] I. Androulidakis and G. Skandalis. “Pseudodifferential calculus on a singular foliation”. In: J. Noncommut. Geom. 5.1 (2011), pp. 125–152. issn: 1661-6952. doi: 10.4171/JNCG/72.

[4] R. Beals and P. Greiner. Calculus on Heisenberg manifolds. Vol. 119. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1988, pp. x+194. isbn: 0-691-08500-5. doi: 10.1515/9781400882397.

[5] M. Christ et al. “Pseudodifferential operators on groups with dilations”. In: Duke Math. J. 68.1 (1992), pp. 31–65. issn: 0012-7094. doi: 10.1215/S0012-7094-92-06802-5.

[6] C. Debord and G. Skandalis. “Adiabatic groupoid, crossed product by  and pseudodifferential calculus”. In: Adv. Math. 257 (2014), pp. 66–91. issn: 0001-8708. doi: 10.1016/j.aim.2014.02.012.

[7] E. van Erp and R. Yuncken. “A groupoid approach to pseudodifferential calculi”. In: J. Reine Angew. Math. 756 (2019), pp. 151–182. issn: 0075-4102. doi: 10.1515/crelle-2017-0035.

[8] G. Folland and E. Stein. “Estimates for the  complex and analysis on the Heisenberg group”. In: Comm. Pure Appl. Math. 27 (1974), pp. 429–522. issn: 0010-3640. doi: 10.1002/cpa.3160270403.

[9] B. Helffer and J. Nourrigat. “Caracterisation des opérateurs hypoelliptiques homogènes invariants à gauche sur un groupe de Lie nilpotent gradué”. In: Comm. Partial Differential Equations 4.8 (1979), pp. 899–958. issn: 0360-5302. doi: 10.1080/03605307908820115.

[10] B. Helffer and J. Nourrigat. “Hypoellipticité maximale pour des opérateurs polynômes de champs de vecteurs”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 289.16 (1979), A775– A778. issn: 0151-0509.

[11] B. Helffer and J. Nourrigat. Hypoellipticité maximale pour des opérateurs polynômes de champs de vecteurs. Vol. 58. Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1985, pp. x+278. isbn: 0-8176-3310-3.

[12] L. Hörmander. The analysis of linear partial differential operators. III. Vol. 274. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Pseudodifferential operators. Springer-Verlag, Berlin, 1985, pp. viii+525. isbn: 3-540-13828-5.

[13] L. Hörmander. “Hypoelliptic second order differential equations”. In: Acta Math. 119 (1967), pp. 147–171. issn: 0001-5962. doi: 10.1007/BF02392081.

[14] A. Kirillov. “Unitary representations of nilpotent Lie groups”. In: Uspehi Mat. Nauk 17.4 (106) (1962), pp. 57–110. issn: 0042-1316.

[15] Edward McDonald “ estimates for the Androulidakis-Mohsen-Yuncken calculus” Preprint https://arxiv.org/abs/2410.13701

[16] O. Mohsen. Blow-up groupoid of singular foliations. 2022. arXiv: 2105.05201 [math.DG].

[17] O. Mohsen. “Index theorem for inhomogeneous hypoelliptic differential operators”. In: Muenster journal of mathematics (2022). doi: 10.48550/ARXIV.2001.00488.

[18] O. Mohsen. On the index of maximally hypoelliptic differential operators. 2022. arXiv: 2201.13049 [math.KT].

[19] O. Mohsen. “Tangent groupoid and tangent cones in sub-Riemannian geometry”. To appear in Duke Journal of mathematics (2024). doi: 10.48550/ARXIV.2212.01652

[20] L. Rothschild and E. Stein. “Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups”. In: Acta Math. 137.3-4 (1976), pp. 247–320. issn: 0001-5962. doi: 10.1007/BF02392419.

[21] L. Rothschild. “A criterion for hypoellipticity of operators constructed from vector fields”. In: Comm. Partial Differential Equations 4.6 (1979), pp. 645–699. issn: 0360- 5302. doi: 10.1080/03605307908820107.

[22] Street, Brian. Maximal Subellipticity, Berlin, Boston: De Gruyter, 2023. https://doi.org/10.1515/9783111085647