Φιλοσοφία των Μαθηματικών | Περιγραφή κλάδου και δραστηριότητες

της Δήμητρας Χριστοπούλου, Αναπλ. Καθηγήτρια του Τμήματος Μαθηματικών του ΕΚΠΑ

H Φιλοσοφία των Μαθηματικών είναι κλάδος της φιλοσοφίας που εντάσσεται στην ευρύτερη περιοχή της Φιλοσοφίας των Επιστημών, δίπλα στη Φιλοσοφία της Φυσικής, τη Φιλοσοφία της Χημείας, τη Φιλοσοφία της Λογικής κλπ. Είναι αυτονόητο αλλά μερικές φορές χρειάζεται να τονίζεται στον ελληνικό χώρο το γεγονός ότι η Φιλοσοφία των Μαθηματικών δεν ταυτίζεται με την Ιστορία των Μαθηματικών ούτε με τη Διδακτική των Μαθηματικών.

Στον κλάδο της Φιλοσοφίας των Μαθηματικών έχει υπάρξει ιδιαίτερη ανάπτυξη κατά τον 20^ο αι. όχι μόνο με τις βασικές «σχολές» των αρχών του αιώνα (Λογικισμό, Φορμαλισμό και Ιντουϊσιονισμό) αλλά και με τα σύγχρονα ρεύματα. Ο Νεοφρεγκεανισμός/Νεολογικισμός, ο μαθηματικός Στρουκτουραλισμός, ο μαθηματικός Εμπειρισμός και ο Νατουραλισμός, ο μαθηματικός Νομιναλισμός, ο μαθηματικός Πλουραλισμός, ο μαθηματικός Ρεαλισμός και οι διάφορες εκδοχές του μαθηματικού Ρεαλισμού αποτελούν τα σύγχρονα ρεύματα που διερευνούν οντολογικά, γνωσιολογικά και σημασιολογικά ερωτήματα σχετικά με τα μαθηματικά.

Η οντολογική φύση των μαθηματικών αντικειμένων αποτελεί αντικείμενο φιλοσοφικής διαμάχης μεταξύ των θεωρητικών του μαθηματικού Ρεαλισμού και εκείνων του Αντιρεαλισμού. Ο μαθηματικός Ρεαλισμός θεωρεί ότι τα μαθηματικά αντικείμενα ανακαλύπτονται από τον ανθρώπινο νου ενώ ο μαθηματικός Αντιρεαλισμός υποστηρίζει αντιθέτως ότι τα μαθηματικά αντικείμενα αποτελούν ανθρώπινες επινοήσεις και νοητικές κατασκευές. Επιπλέον μεγάλη συζήτηση έχει αναπτυχθεί ως προς το οντολογικό status των μαθηματικών αντικειμένων δηλαδή το κατά πόσον αυτά πρέπει να εντάσσονται στην κατηγορία των «καθεκάστων» (particular objects), των «ειδών» (sorts) ή των «ιδιοτήτων» (properties).

Το γεγονός ότι τα γεωμετρικά αντικείμενα (ευθείες γραμμές, κύκλοι, σφαίρες κλπ) δεν συναντώνται στην εμπειρική (φυσική πραγματικότητα) και το μόνο που μπορεί κανείς να βρει στη φύση είναι εμπειρικά αντικείμενα που προσεγγίζουν κατά κάποιο τρόπο ή ομοιάζουν στα γεωμετρικά, έθεσε τη βάση για μία συζήτηση μεταξύ των εκπροσώπων δύο ερμηνειών. Η μία ερμηνεία είναι πλατωνικής προέλευσης η οποία θεωρεί τα γεωμετρικά αντικείμενα ως αφηρημένα και μία ερμηνεία εμπειριστική η οποία θεωρεί τα γεωμετρικά αντικείμενα αποτέλεσμα εξιδανίκευσης και αφαίρεσης.

Η γνωσιολογία θέτει επίσης ερωτήματα σχετικά με τη μαθηματική γνώση. Η βασική διαμάχη αφορά στο εάν η μαθηματική γνώση είναι a priori ή a posteriori, δηλαδή εάν αυτή είναι ανεξάρτητη από την αισθητηριακή εμπειρία ή έπεται αυτής. Οι ρασιοναλιστές υποστηρίζουν τον a priori χαρακτήρα των μαθηματικών ενώ οι εμπειριστές αποδίδουν στην μαθηματική γνώση a posteriori χαρακτηριστικά. Επί μέρους ερωτήματα έχουν τεθεί προς έρευνα, όπως π.χ το αν τα μαθηματικά έχουν συνθετικό ή αναλυτικό χαρακτήρα ενώ ο χαρακτηρισμός «a priori συνθετικές μαθηματικές προτάσεις» έχει υποστηριχθεί από τον Kant αλλά και από σύγχρονους φιλοσόφους. Ο Frege όπως και οι Νεοφρεγκεανοί υποστηρίζουν τον αναλυτικό a priori χαρακτήρα των προτάσεων της αριθμητικής αλλά συμφωνούν με τον Kant ως προς τον συνθετικό a priori χαρακτήρα της γεωμετρίας.

Το θέμα της μαθηματικής αλήθειας (mathematical truth) όπως και αυτό της αναφοράς (reference) των μαθηματικών εκφράσεων εντάσσονται στην σημασιολογία της μαθηματικής γλώσσας. Ως προς αυτά τα ζητήματα, η ερευνητική δραστηριότητα αναφέρεται στο είδος των μαθηματικών αληθειών (πχ. «αναγκαίων» ή «ενδεχομενικών»), στις θεωρίες αλήθειας που μπορούν να υποστηρίξουν την περίπτωση της μαθηματικής αλήθειας, τη συζήτηση περί «αληθοποιητών» (truth-makers) για τις μαθηματικές προτάσεις, την ειδική μέριμνα για τις εικασίες και για τις «μη αποκρίσιμες» μαθηματικές προτάσεις. Το άρθρο “Mathematical Truth” του P. Benacerraf (1973) έχει ανοίξει μία μεγάλη ερευνητική συζήτηση σχετικά με τη σημασιολογία της μαθηματικής γλώσσας (βλ. και Χριστοπούλου, Τα διλήμματα του P. Benacerraf, εκδ. Οκτώ 2017).

Η φιλοσοφία των Μαθηματικών άνθησε κυριολεκτικά στο δεύτερο μισό του 20^ου αι. και συνεχίζει να ανθίζει με εκδόσεις πλήθους βιβλίων και ερευνητικών άρθρων στον αγγλοσαξωνικό χώρο. Στα διεθνή Συνέδρια Φιλοσοφίας και Φιλοσοφίας της Επιστήμης διεξάγονται συζητήσεις σχετικά με τα προβλήματα που προαναφέρθηκαν.

Ειδικότερα στον ελληνικό χώρο, οι ελάχιστοι άνθρωποι που εκπροσωπούμε το αντικείμενο έχουμε επιχειρήσει να αναπτύξουμε το αντικείμενο, να το κάνουμε γνωστό και να το διαχωρίσουμε από άλλα αντικείμενα πχ. Ιστορία Μαθηματικών, Διδακτική Μαθηματικών, καθώς και από τα ίδια τα Μαθηματικά κλπ. μέσα σε ένα γενικότερο κλίμα συγχύσεων που υφίστανται λόγω άγνοιας ή καλλιεργούνται για άλλους λόγους στα ελληνικά πανεπιστήμια. Γι αυτό, έχουν υπάρξει τόσο εκδόσεις ελληνικών βιβλίων το οποίο είναι απολύτως απαραίτητο για τη γνωριμία του ελληνικού αναγνωστικού κοινού με το αντικείμενο καθώς και αρθρογραφία ελληνική και ξένη.

Στο Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ διδάσκεται η Φιλοσοφία των Μαθηματικών (σε προπτυχιακό και σε μεταπτυχιακό επίπεδο) εδώ και πολλά χρόνια, κάτι που δεν συναντά κανείς σε άλλα Μαθηματικά Τμήματα των ελληνικών πανεπιστημίων. Μάλιστα είναι εξαιρετικά ενδιαφέρον το ότι στο Π.Μ.Σ. της Διδακτικής και μεθοδολογίας των Μαθηματικών, πολλοί μεταπτυχιακοί φοιτητές παρακολουθούν κάθε ακαδ. έτος το μεταπτυχιακό μου μάθημα της Φιλοσοφίας των Μαθηματικών που αναφέρεται στα σύγχρονα ρεύματα του κλάδου. Σε αυτό το πλαίσιο έχουν προσκληθεί και έχουν δώσει διαλέξεις φιλόσοφοι των μαθηματικών από το εξωτερικό όπως πχ. ο Alexander Paseau από την Οξφόρδη και η M. Leng από το York (βλ. φωτογραφίες). Επιπλέον, διαλέξεις Φιλοσοφίας των Μαθηματικών δίνονται στο πλαίσιο του θερινού σχολείου του συγκεκριμένου μεταπτυχιακού προγράμματος όποτε αυτό διεξάγεται κατά τους καλοκαιρινούς μήνες.

Μαζί με τον καθηγητή Ι. Χριστιανίδη διοργανώσαμε συνέδριο για την Ιστορία και τη Φιλοσοφία των Μαθηματικών στο ΕΚΠΑ με διαλέξεις και από τα δύο γνωστικά αντικείμενα κατά τα έτη 2016 και 2017  (βλ. φωτογραφίες)

Ακολουθούν αναφορές σε κάποιες εκδόσεις ελληνικών εκδοτικών οίκων που αφορούν στο εν λόγω γνωστικό αντικείμενο:

Δ. Χριστοπούλου, Τα διλήμματα του P. Benacerraf, εκδόσεις Οκτώ, 2017
Δ. Χριστοπούλου,  Νεολογικισμός/Νεοφρεγκεανισμός, εκδόσεις Παρέμβαση, 2021
M. Friend, Γνωρίζοντας τη Φιλοσοφία των Μαθηματικών, μτφρ. Β. Πέτρου, επιμ. Δ. Χριστοπούλου, εκδόσεις Επίκεντρο, 2020
Δ. Αναπολιτάνος, Το Πεπερασμένο, το Άπειρο και ο Κόσμος, εκδόσεις Νεφέλη, 2021
Κείμενα των Δ. Χριστοπούλου, Σ. Νεγρεπόντη, Κ. Δημητρακόπουλου, Δ. Αναπολιτάνου Αξιώματα, Παράδοξα, Υποθέσεις και Εικασίες (συλλογικός τόμος) επιμ. Δ. Αναπολιτάνου, εκδ. Νεφέλη, 2020
Χριστοπούλου, Δ. & Ψύλλος, Σ. (2008) “Η έννοια του αριθμού και ο αριθμός της έννοιας: μια ανάλυση των Grundlagen του Frege”, Νόησις, 3, 79-114
Χριστοπούλου, Δ. και Ψύλλος, Σ. (2005) “Νεολογικισμός: Προβλήματα και προοπτικές”, Νεύσις, 14, 152-173

Ενδεικτικά κάποιες ξένες δημοσιεύσεις Δ. Χριστοπούλου:
Christopoulou, D. “Implicitly defining mathematical terms. A path towards Pluralism” in the Handbook of the History and Philosophy of mathematical practice (ed.) Bharath Sriraman, 1-17
Christopoulou, D. (2015) “Dealing with Quine’s wolf: Is 2nd order logic ontologically commitable?” Philosophical Inquiry, 39, 1, 63-80
Christopoulou, D. (2014) “Weyl on Fregean implicit definitions: between phenomenology and symbolic construction” Journal for the General Philosophy of Science, Volume 45, Issue 1 , 35-47
Christopoulou, D. (2013) “On the synthetic content of implicit definitions” Logic and Logical Philosophy, Vol. 22 , 47–60
Christopoulou, D. (2012) “Two German philosophers of mathematics, two epistemological traditions: Frege and Weyl on abstraction”, Proceedings, 5th International Conference, European Society for the History of Science
Christopoulou, D. (2011) “On a double aspect of numbers as universals and objects”, Logic and Philosophy of Science, Vol. IX, No 1, 229-245

Ενδεικτικά συμμετοχή της Δ. Χριστοπούλου σε διεθνή Συνέδρια με διαλέξεις Φιλοσοφίας Μαθηματικών:
21th Symposium Logica, Institute of Philosophy, Czech Republic, 18-22 Ιουνίου 2007
BSPS (British Society for the Philosophy of Science Annual Conference), University of Bristol, 5-6 Iουλίου 2007
Joint Session of the Aristotelian Society and the Mind Association, University of Bristol, 6-8 Ιουλίου 2007
1st Conference of the European Philosophy of Science Association (EPSA), Madrid, 14-17 Nοεμβρίου 2007
ECAP6, European Congress of Analytic Philosophy, Krakow, 21-25 Αυγούστου 2008
Joint Session of the Aristotelian Society and the Mind Association Sussex University, 7-9 July 2011
3rd Conference of the European Philosophy of Science Association (EPSA), University of Athens, 5-7 Οκτωβρίου 2011
5th International Conference, Society for the History of Science, Athens, 2012
Conference “The Analysis of theoretical terms”, Mathematical Philosophy Center, Ludwig Maximilians Universität, München, April 2013
ENFA 7 ​Seventh National Meeting In Analytic Philosophy, School Of Arts And Humanities, University of Lisbon, ​​September 2018

Επισυνάπτονται φωτογραφίες δραστηριοτήτων στο ΕΚΠΑ: