Μαθηματική Ανάλυση της Υπόθεσης Σχεδόν Σταθερής Κατάστασης (QSSA) στην Ενζυμική Κινητική

Η ερευνητική ομάδα του Τομέα Μαθηματικής Ανάλυσης του Τμήματος Μαθηματικών του ΕΚΠΑ, αποτελούμενη από τον μεταδιδακτορικό ερευνητή Νίκο Γιαλελή (πτυχιούχο, κάτοχο μεταπτυχιακού διπλώματος ειδίκευσης και διδάκτορα του Τμήματος Μαθηματικών του ΕΚΠΑ & απόφοιτο και μεταπτυχιακό φοιτητή της Ιατρικής Σχολής του ΕΚΠΑ), την διδάσκουσα ΕΣΠΑ Βασιλική Μπιτσούνη (πτυχιούχο & κάτοχο μεταπτυχιακού διπλώματος ειδίκευσης του Τμήματος Μαθηματικών του ΕΚΠΑ και διδάκτορα του Πανεπιστημίου του Dundee, Σκωτία) και τον Καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών Γιάννη Στρατή, δημοσίευσε πρόσφατα στο έγκριτο διεθνές περιοδικό Mathematics (2022, 10(7), 1086 – https://doi.org/10.3390/math10071086) την εργασία με τίτλο Rigorous Analysis of the Quasi-Steady-State Assumption in Enzyme Kinetics.

Ενώ από το 1913 χρησιμοποιούταν στην Χημική Κινητική η Υπόθεση Σχεδόν Σταθερής Κατάστασης (QSSA), στην Ενζυμική Κινητική εισήχθη το 1925 από τους Briggs και Haldane, οι οποίοι επέκτειναν ιδέες αφενός των Michaelis και Menten και αφετέρου των Van Slyke και Cullen. Η υπόθεση αυτή επέτρεψε την προσεγγιστική επίλυση του θεμελιώδους προβλήματος Ενζυμικής Κινητικής με χημική εξίσωση την S + E → E + P, όπου το  συμβολίζει το υπόστρωμα, το  το ένζυμο και το  το προϊόν της αντίδρασης, μέσω της εισαγωγής ενός ενδιάμεσου βήματος S + E  ⇆ C → E + P, με το C να είναι το σύμπλοκο υποστρώματος-ενζύμου· τα χρονικά διαστήματα ολοκλήρωσης κάθε βήματος της αντίδρασης έχουν διαφορετικές τάξεις μεγέθους. Έκτοτε πολλοί ερευνητές, προερχόμενοι τόσο από τον χώρο της Χημείας όσο και των Μαθηματικών, έχουν ασχοληθεί εκτεταμένα – αλλά όχι με αυστηρή μαθηματική θεμελίωση – με την υπόθεση αυτή και τα αποτελέσματά της.

Όπως προαναφέρθηκε, η QSSA υπονοεί την ύπαρξη διαφορετικών εγγενών χρονικών κλιμάκων οι οποίες χαρακτηρίζουν τη δυναμική της χημικής αντίδρασης και εξαρτώνται από τα δεδομένα του προβλήματος (αρχικές ποσότητες και χημικές σταθερές). Η επιλογή των χρονικών αυτών κλιμάκων γίνεται παραδοσιακά με εμπειρικό τρόπο. Στο πλαίσιο αυτό έχουν προταθεί και παγιωθεί στη βιβλιογραφία τρεις υποπεριπτώσεις της QSSA – η «τυπική» (standard), η «αντίστροφη» (reverse) και η «ολική» (total) – στην προσπάθεια αντιμετώπισης του προβλήματος, υπό διαφορετική ποιοτική σχέση των δεδομένων. Ενώ στις δύο πρώτες υποπεριπτώσεις, τόσο οι εγγενείς χρονικές κλίμακες όσο και η δυναμική της αντίδρασης διαφέρουν ουσιαστικά μεταξύ τους, η τρίτη ενέχει στοιχεία και των δύο προηγούμενων.

Στην εργασία μας διαπιστώνεται ότι το θέμα της τεκμηριωμένης επιλογής κατάλληλων χρονικών κλιμάκων αποτελεί ζήτημα αναδιατύπωσης του προβλήματος με χρήση αδιάστατων ποσοτήτων, δηλαδή ζήτημα κανονικοποίησης (scaling). Προς τούτο, προτείνεται μία αυστηρή, συστηματική, διαδικασία κανονικοποίησης μιας γενικής κλάσης δυναμικών μη γραμμικών προβλημάτων, στην οποία εντάσσεται και το εν λόγω πρόβλημα, όπως επίσης, π.χ., και το θεμελιώδες πρόβλημα Επιδημιολογίας SIR. Με τον προτεινόμενο τρόπο, αναφύονται – δεν επιλέγονται, δηλαδή, a priori – οι εγγενείς χρονικές κλίμακες. Η εφαρμογή της διαδικασίας αυτής στο πρόβλημά μας, επιβεβαιώνει την υφιστάμενη στην βιβλιογραφία «κλασική» επιλογή των χρονικών κλιμάκων της τυπικής και της αντίστροφης QSSA. Αντίθετα, διαπιστώνεται ότι η ολική QSSA δεν συνιστά μια τρίτη, ανεξάρτητη, υποπερίπτωση, καθώς δεν παράγει νέες χρονικές κλίμακες.

Μετά την ορθή κανονικοποίηση και την ανάδειξη των χαρακτηριστικών εγγενών χρονικών κλιμάκων, το πρόβλημα αντιμετωπίζεται προσεγγιστικά με μεθόδους Ασυμπτωτικής Ανάλυσης και επίλυσης Διαφορικών Εξισώσεων. Η προκύπτουσα λύση δίνεται σε κλειστό τύπο, γεγονός ασύνηθες για μη γραμμικά προβλήματα. Συμπληρωματικά, το πρόβλημα επιλύεται αριθμητικά προς επαλήθευση των αποτελεσμάτων.

• Η εργασία είναι αφιερωμένη στη μνήμη του Ομότιμου Καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών Βασιλείου Α. Δουγαλή.